El
cociente dorado es un número irracional nombrado de esa manera por
los griegos, y que tiene un valor de 1.61803 39887 49894 84820 , el cual
puede ser calculado por medio de la fórmula:
Este
número también puede ser aproximado por medio de los Números
de Fibonacci, ya que al dividir un término de esta serie entre
el anterior, el valor resultante se aproxima más al cociente dorado
conforme los valores de la serie se van incrementando. |
T�rminos
|
Aproximaci�n
|
1/1 |
1 |
2/1 |
2 |
3/2 |
1.5 |
5/3 |
1.6667 |
8/5 |
1.6 |
13/8 |
1.625 |
21/13 |
1.615384615 |
34/21 |
1.619047619 |
55/34 |
1.617647059 |
89/55 |
1.618181818 |
144/89 |
1.617977528 |
233/144 |
1.618055556
|
377/233 |
1.618025751 |
610/377 |
1.618037135 |
987/610 |
1.618032787 |
1597/987 |
1.618034448 |
2584/1597 |
1.618033813 |
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Una manera gráfica de representar
este concepto es el de los rectángulos dorados, los cuales son rectángulos
que tienen una proporción entre su ancho y alto igual al cociente
dorado. Podemos construir un rectángulo dorado partiendo de cuadrados
equivalentes a los valores de los términos de la serie de Fibonacci,
y colocándolos uno al lado del otro, como se puede ver en la figura de la
derecha |
Si presionas con el mouse sobre la
figura, te presentará
una aplicación interactiva
en la que podrás generar un
rectángulo dorado y ver como
sus proporciones aproximan al
valor del cociente dorado
|
El cociente dorado es un número
altamente reproducible en la naturaleza, ya que se puede encontrar por
ejemplo en las flores y los conos de los pinos, en los cuales se describen
espirales en sentidos opuestos; si contamos estas espirales hacia un lado
obtenfremos un número de la serie de fibonacci y hacia el otro el
número anterior que, como ya vimos, dividido uno sobre el otro aproximan
el valor del cociente dorado.
También es posible encontrarlo
en las espirales de las conchas de ciertos animales marinos, como es el caso del
Nautilus, que se muestra en esta figura.
A esta espiral se le conoce como
Espiral Logarítmica, y tiene la característica que cada 90°,
el radio de la circunferencia se incrementa en una proporción igual
al valor del cociente dorado. |
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Volviendo a los rectángulos
dorados, se dice que las proporciones de esta figura son muy agradables
al ojo humano, por eso es que grandes artistas la han empleado en sus obras.
Decíamos al principio que los Griegos habían bautizado a
este número como Cociente Dorado, y a pesar de que ellos no creían
en los números irracionales, lo utilizaron en una de sus más
grandes obras: el Partenón |
Leonardo Da Vinci llamó al
cociente dorado la "Proporción Divina", y lo incluyó en muchas
de sus pinturas, como la Monalisa |
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Giza y su Gran Pirámide Dorada
Hace miles de años, la civilización
egipcia construyó grandes pirámides para honrar a sus faraones
y a sus dioses. En Giza sobreviven tres pirámides que, matemáticamente,
tienen características muy peculiares:
La Gran Pirámide: Podríamos
decir que esta pirámide tiene "Geometría Dorada", ya que
el ángulo de inclinación de cada una de sus caras puede obtenerse
a partir del cociente dorado, de la siguiente manera:
arcCos (1/f)=51.8°
además de encontrarlo en sus
dimensiones, ya que si dividimos una de sus caras por la mitad, formamos
dos triángulos rectángulos con altura igual a f
veces
la base.
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