Números y Formas

   

El Rey Shirham y el Ajedrez Una víctima de los números abrumadoramente grandes, fue el rey Shirham, quien según cuenta una antigua leyenda India, quiso premiar a su distinguido Vizier Sissa Dahir presentarle el juego del ajedrez. El listo Vizier exclamó "Majestad" arrodillándose enfrente del rey y le dijo dame un grano de trigo por el primer escaque (cuadro) del tablero, mañana, dos granos por el segundo, al día siguiente cuatro granos por el tercero, luego ocho por el cuarto, y de esta manera, o rey, doblarás diariamente el número por cada escaque del tablero, hasta cubrir los sesenticuatro. "No es mucho lo que has solicitado mi fiel sirviente", exclama el rey, disfrutando silenciosamente, el pensar que su propuesta lo liberaba de un regalo al inventor del milagroso juego y además no le costaría mucho. "Tu deseo será otorgado". Y ordenó comprar las bolsas de trigo. De esa manera, el conteo empezó con 1 grano ese mismo día, 2 al segundo, 4 por el tercero y así sucesivamente. Al vigesimoprimer día,  cuando tocaba llenar el cuadro veintiuno las bolsas de grano de todo el reino estaban vacías. Para los días subsecuentes, el rey tuvo que comprar más bolsas de trigo, pero el número de granos necesarios incrementaba tan rápido que fue evidente que ni con toda la cosecha de la India, el rey podría cumplir su promesa a Sissa Ben.

    Veamos cuantos granos se acumulaban los primeros días:

Escaque	Número de granos por cuadro	Granos acumulados
1	1	1
2	2	3
3	4	7
4	8	15
5	16	31
...	...	...

En el escaque número 64, 

¿Cuantos granos tendría que haber pagado en total el desafortunado rey? 

¿Millones, Biillones, Trillones, Cuatrillones ...?

Para intentar apreciar la magnitud de la solicitud del Vizier, consideremos la posibilidad de colocar los granos de trigo uno tras otro. Ahora bien, si el grosor de un grano de trigo lo consideramos como de 1mm,

¿Qué tan larga sería nuestra hilera?

¿de un Kilómetro? ¿de mil Kilómetros? ¿Llegaríamos al otro lado del mundo? Atención, la longitud de nuestra hilera de granos de Trigo sería deun poco mas de 36 millones de millones de kilómetros. De forma que la hilera nos permitiría derle muchas veces la vuelta a la tierra cuya circunferencia lineal por el ecuador C es fácil de calcular sabiendo que el radio terrestre es de apenas 6370 Km (digamos "apenas", relativo a nuestro cálculo):

Es decir que le podríamos dar casi mil millones de vueltas a la tierra. Si los apiláramos uno sobre otro, la pila llegaría fácilmente mucho más allá del Sol (a tan solo 150 millones de kilómetros de la Tierra).

El número total de granos acumulados sería exactamente de 36,893,488,147,419,103,231.

¿Qué tan larga sería nuestra hilera?

(Para llegar a esta respuesta hacemos uso de la Suma de una serie Geométrica).

Ahora asumiendo que un "bushel" de trigo contiene cerca de 5 millones de granos, se necesitarían cuatro mil billones de "bushel", para satisfacer la demanda de Sissa Ben. Si partiéramos de que la producción promedio mudial de trigo es 2,000,000,000 de "bushel" al año, el monto requerido por Sissa Ben sería 2,000 años de la producción de trigo mundial actual.